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  • 書簽 分享 收藏 舉報 版權申訴 / 217

    類型概率論與數理統計電子教案

  • 上傳人:蝶**
  • 文檔編號:18903548
  • 上傳時間:2018-12-08
  • 格式:DOC
  • 頁數:217
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    概率論與數理統計電子教案 概率論與數理統計 概率論與數理統計教案
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    《概率論與數理統計電子教案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《概率論與數理統計電子教案(217頁珍藏版)》請在技術文庫上搜索。

    1、-第一章 隨機事件及其概率概率論與數理統計是從數量化的角度來研究現實世界中一類不確定現象(隨機現象)規律性的一門應用數學學科,本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.1.1 隨機事件一、隨機試驗1確定性現象:必然發生或必然不發生的現象。 在正常的大氣壓下,將純凈水加熱到100時必然沸騰,向上拋一石子必然下落,異性電荷相互吸引,同性電荷相互排斥等 2隨機現象:在一定條件下我們事先無法準確預知其結果的現象,稱為隨機現象.擲一顆骰子,可能出現1,2,3,4,5,6點,拋擲一枚均勻的硬幣,會出現正面向上、反面向上兩種不同的結果.3隨機現象的特點:人們通過長期實踐并深入研究之后,發現

    2、這類現象在大量重復試驗或觀察下,它的結果卻呈現出某種統計規律性.概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門學科.4. 隨機試驗 為了對隨機現象的統計規律性進行研究,就需要對隨機現象進行重復觀察, 我們把對隨機現象的觀察稱為隨機試驗, 并簡稱為試驗,記為. 5.隨機試驗具有下列特點:1. 可重復性: 試驗可以在相同的條件下重復進行;2. 可觀察性: 試驗結果可觀察,所有可能的結果是明確的;3. 隨機性(不確定性): 每次試驗出現的結果事先不能準確預知. ,但可以肯定會出現所有可能結果中的一個.二、隨機事件1.樣本點:隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個 樣本點,記作. 2樣

    3、本空間:全體樣本點組成的集合稱為這個隨機試驗的樣本空間,記為.(或)即例1::投擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現的情況,則樣本空間為:將一枚硬幣連拋兩次,觀察正面,反面出現的情況,則樣本空間為:將一枚硬幣連拋兩次,觀察正面出現的次數,則樣本空間為:記錄某電話臺在一分鐘內接到的呼叫次數,則樣本空間為:已知某物體長度在10與20之間,測量其長度,則樣本空間為:在一大批燈泡中任取一只,測試其使用壽命,則樣本空間為注:1)在 中,雖然一分鐘內接到電話的呼叫次數是有限的,不會非常大,但一般說來,人們從理論上很難定出一個次數的上限,為了方便,視上限為,這種處理方法在理論研究中經常被采用2)樣本空間的元素是由

    4、試驗的目的所確定的,如和中同是將一枚硬幣連拋兩次,由于試驗的目的不一樣,其樣本空間也不一樣3隨機事件:我們稱試驗的樣本空間的子集為的隨機事件,簡稱事件,在隨機試驗中,可能出現也可能不出現,而在大量重復試驗中具有某種規律性.一般用,等大寫字母表示事件設為一個事件,當且僅當試驗中出現的樣本點時,稱事件在該次試驗中發生如:在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中,“正面向上”是一 個隨機事件,可用正面向上表示擲骰子,“出現偶數點”是一個隨機事件,試驗結果為2,4或6點, 可用B2,4,6表示注: 要判斷一個事件是否在一次試驗中發生,只有當該次試驗有了結果以后才能知道1)基本事件 :僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本

    5、事件.如:拋擲一顆骰子,觀察出現的點數,那么“出現1點”、“出現2點”,.,“出現6 點”為該試驗的基本事件 2)必然事件:樣本空間本身也是的子集,它包含的所有樣本點,在每次試驗中必然發生,稱為必然事件即必然發生的事件.如:“拋擲一顆骰子,出現的點數不超過6”為必然事件. 3)不可能事件:空集也是的子集,它不包含任何樣本點,在每次試驗中都不可能發生,稱為不可能事件不可能發生的事件是不包含任何樣本點的. 如:“擲一顆骰子,出現的點數大于6”是不可能事件.三、事件間的關系與運算研究原因:希望通過對簡單事件的了解掌握較復雜的事件 研究規則:事件間的關系和運算應該按照集合之間的關系和運算來規定 事件間

    6、的關系及運算與集合的關系及運算是一致的.1 子事件、包含關系 ,2相等事件:若事件發生必然導致事件發生,且若事件發生必然導致事件發生, 即 A=B注:事件與事件含有相同的樣本點 例如:在投擲一顆骰子的試驗中,事件“出現偶數點”與事件“出現2,4或6點”是相等事件。3和事件或并事件, 4、積事件或交事件, .5、事件的差,.注:例如,在例1的中,若記,則, 6、互斥或互不相容.事件A和隨機B不能同時發生.注:.推廣:設事件滿足稱事件是兩兩互不相容的.7對立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個發生,即則事件和事件為互逆事件或對立事件。記的對立事件為 注:互逆事件必為互斥事件,反之,互斥事件未

    7、必為互逆事件事件的關系與運算可用圖來直觀的表示注: 事件的運算滿足如下基本關系, 若,則, ,()8、完備事件組:設是有限或可列個事件,若其滿足,則稱是樣本空間的一個完備事件組或一個劃分.注:與構成一個完備事件組.四、隨機事件的運算規律冪等律: 交換律: 結合律: 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2: 一名射手連續向某個目標射擊三次,事件表示該射手第次射擊時擊中目標(),試用表示下列各事件(1)前兩次射擊中至少有一次擊中目標;(2)第一次擊中目標而第二次未擊中目標;(3)三次射擊中,只有第三次未擊中目標;(4)三次射擊中,恰好有一次擊中目標;(5)三次射擊中,至少有一次未擊中目標;

    8、(6)三次射擊都未擊中目標;(7)三次射擊中,至少兩次擊中目標;(8)三次射擊中,至多一次擊中目標解:分別用表示(1),(2),(8)中所給出的事件(1)(2)或(3)(4)(4)或(6)(7)(8) 備講例2:甲,乙,丙三人各射一次靶,記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件: (1) “甲未中靶”: (2) “甲中靶而乙未中靶”: (3) “三人中只有丙未中靶”: (4) “三人中恰好有一人中靶”: (5)“ 三人中至少有一人中靶”: (6)“三人中至少有一人未中靶”: 或(7)“三人中恰有兩人中靶”: (8)“三人中至少兩人中靶”: (9)“三人

    9、均未中靶”: (10)“三人中至多一人中靶”: (11)“三人中至多兩人中靶”: 或注:用其他事件的運算來表示一個事件, 方法往往不惟一,如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件,讀者應學會用不同方法表達同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據需要選擇一種恰當的表示方法.例3如圖所示電路中,“燈亮”,分別表示“開關,閉合” , 這是因為,如果 發生,即開關,同時閉合,則整個電路接通,于是燈亮,即發生,所以,同理如果發生,即 或 中至少一個發生,則整個電路接通,于是燈亮,即發生,所以反之,如果發生,即燈亮,則 或中至少有一個發生,所以由事件相等的定義,課堂練習1. 設當事件與同時發生時也發

    10、生, 則 ( C )(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是的子事件.2. 設事件甲種產品暢銷, 乙種產品滯銷, 則的對立事件為 (D).(A) 甲種產品滯銷,乙種產品暢銷;(B) 甲種產品滯銷;(C) 甲、乙兩種產品均暢銷;(D) 甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷.1.2頻率與概率隨機事件在一次隨機試驗中是否會發生,事先不能確定,但希望知道它發生可能性的大小這里先引入頻率的概念,進而引出表征事件在一次試驗中發生的可能性大小的數字度量概率一、頻率及其性質1定義1在相同條件下重復進行了次試驗,如果事件在這次試驗中發生了次,則稱比值為事件發生的頻率,記作它具有下述性質: 非負性規

    11、范性有限可加性頻率的大小表示了在次試驗中事件發生的頻繁程度頻率大,事件發生就頻繁,在一次試驗中發生的可能性就大,反之亦然因而直觀的想法是用頻率來描述在一次試驗中發生的可能性的大小2 頻率的穩定性隨機事件在相同條件下重復多次時,事件發生的頻率在一個固定的數值附近擺動,隨機試驗次數的增加更加明顯,事件的頻率穩定在數值,說明了數值可以用來刻劃事件發生可能性的大小,可以規定為事件的概率二、概率的統計定義定義2對任意事件,在相同的條件下重復進行次試驗,事件發生次,從而事件發生的頻率,隨著試驗次數的增大而穩定地在某個常數附近擺動,那么稱為事件的概率上述定義稱為隨機事件概率的統計定義在實際應用時,往往可用試

    12、驗次數足夠大時的頻率來估計概率的大小,且隨著試驗次數的增加,估計的精度會越來越高在實際中,我們不可能對每一個事件都做大量的試驗,然后求得事件發生的頻率,用以表征事件發生的概率為此給出概率的嚴格的公理化定義三、概率的公理化定義定義3 設是隨機試驗,是它的樣本空間,對的每一個事件賦予一個實數,記為,若滿足下列三個條件:(1)非負性對每一個事件,有;(2)規范性對于必然事件,有(3)可列可加性設是兩兩互不相容的事件,有則稱為事件發生的概率四、概率的性質性質1性質2.有限可加性:設是兩兩互不相容的事件,則有 即若則性質3.對任一隨機事件,有 性質4.設是兩個事件,若 則,證明因為,從而有),且由性質2

    13、得所以由于,因此性質5:對任意事件.性質6(減法公式):對事件,則證明由于,而根據性質4可得性質7:對任意兩個事件,有推廣:證明:因為且,由性質2及性質4得 一般地,設為n個隨機事件,則有 此公式稱為概率的一般加法公式。例1:設 求(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解: (1)(2);(3) (4) 例2:設, 求事件全不發生的概率。解: 因為,所以,而所以練習:設事件A、B的概率分別為1/3、1/2,求在下列三種情況下的值(1)A與B互不相容 (2) (3)P(AB)=1/8解:(1)由已知得=P(B)=1/2(2)=P(B)-P(A)=1/6(3)=P(B-A)=P(B-AB)

    14、=P(B)-P(AB)=3/81.3 古典概型與幾何概型一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機試驗模型為古典概型(1)隨機試驗只有有限個可能的結果;(2)每一個結果發生的可能性大小相同古典概型又稱為等可能概型 設試驗是古典概型,樣本空間為,則基本事件,兩兩互不相容,且由于及,因此若事件包含個基本事件,即其中是中某個不同的數,則有 即二、 計算古典概率的方法1基本計數原理:(1). 加法原理:設完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法,第二種方式有種方法,,第種方式有種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數為.(2). 乘法原理:設完成一件事有個步驟,其中第一個步驟有

    15、種方法,第二個步驟有種方法,第個步驟有種方法;完成該件事必須通過每一步驟才算完成,則完成這件事的方法總數為 .2. 排列組合方法(1) 排列公式:從n個不同元素中任取k個的不同排列總數為 (2) 組合公式;從n個不同元素中任取k個的不同組合總數為例1 :將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現的情況。 (1) 設事件 為“恰有一次出現正面”,求 (2)設事件為“第一次出現正面”, 求, (3)設事件 為“至少有一次出現正面” ,求 解: 中包含有限個元素,且每個基本事件發生的可能性相同,屬于古典概型。樣本空間 , (1) , (2) ,(3) 或 例2: 袋中裝有5只白球3只黑球,分別按下列

    16、方式抽取2只:(1)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球這種取球方式叫做不放回抽樣(2)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球這種取球方式叫做放回抽樣(3)一次任取2只設“所取2只球均為白球”,“所取2只球中一白一黑”,求解(1)不放回抽樣. 第一次從8只球中抽取一只,不再放回,故第二次從7只球中抽取1只,因此基本事件總數為.因為第一次有5只白球供抽取,第二次有4只白球供抽取,所以事件中包含的基本事件數為,所以 從5只白球中任取一只共有5種方法,從3只黑球中任取一只共有3種方法,第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球構成事件,共有種方法, 故(2

    17、)放回抽樣. 因為每次都是從8只球中抽取,故由乘法原理,基本事件總數的,又由于兩次都是從5只白球中抽取,故構成的基本事件數為, 因此事件包含的基本事件數:第一次取得白球第二次取得黑球有個基本事件,第一次取得黑球第二次取得白球有個基本事件,故(3)一次任取2只因為不考慮次序,將從8只球中抽取2只的可能組合作為基本事件,總數為事件發生的基本事件數為從5只白球中任取2只的組合,有個故事件發生的基本事件數為從5只白球中任取1只,從3只黑球中任取一只構成的組合,共有個,故例3 一批產品共10件,其中有3件次品,今從中隨機取4件,問其中恰有2件為次品的概率是多少? 解:設=從中隨機地取4件,恰有2件為次品

    18、10件產品中隨機地取4件共有種取法,每種取法為一基本事件且每個基本事件發生是等可能的,又因在3件次品中取2件的取法有種,在7件正品中取2件正品的取法有種,由乘法原理,在4件產品中有2件次品,2件正品的取法共有種,所以例4:有只球,隨機放在個盒子中()試求下列各事件的概率(1)每個盒子中至多有一只球;(2)某指定的個盒子中各有一只球;(3)恰有個盒中各有一球解:只球放入個盒子里的方法共有種,即為基本事件總數()設“每個盒子中至多有一只球”因為每個盒子中至多放一只球,共有種不同的放法即中包含的基本事件數為所以(2)設“某指定的個盒子中各有一只球”由于只球在指定的個盒中各放一只,共有種放法,故中包含

    19、的基本事件數為.所以(3)設“恰有個盒中各有一只球”由于在個盒中選取個盒子的選法有種,而對于每一種選法選出的個盒,其中各放一只球的放法有種所以包含的基本事件數為所以例如,假設每個人的生日在一年天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機選取個人,他們的生日各不相同的概率因而,個人中至少有兩人生日相同的概率為如果,可算出,即在一個50人的班級里,“至少有兩個人的生日相同”這一事件發生的概率與1差別很小例5:從的100個整數中任取一個,試求取到的整數既不能被6整除,又不能8整除的概率解:設“取到的數能被6整除”,“取到的數能被8整除”,“取到的數既不能被6整除,也不能被8整除”則, 對,設100個整

    20、數中有個能被6整除,則,所以即中有16個基本事件,同理中含有12個基本事件,則設既能被6整除又能被8整除即能被24整除的數為個,則所以即中含有4個基本事件,則故三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型. 將古典概型中的有限性推廣到無限性,而保留等可能性,就得到幾何概型。幾何概型特點: 有一個可度量的幾何圖形,試驗看成在中隨機地投擲一點,事件就是所投擲的點落在中的可度量圖形中 這里我們研究樣本空間為一線段、平面區域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型幾何概型.例:某路公共汽車每發出一輛車,求乘客到達站點后,等待時間不超過的概率如果記此事件為,乘客到達站點的時刻可視為向時間

    21、段投擲一隨機點從而向時間段內投點對應于向線段上投點事件表示“等待時間不超過,而樣本空間,這里所投擲的點落在線段上任一點的可能性都一樣或說具有等可能性我們理解這種等可能性的含義,就是點落在時間段內的可能性與該線段的長度成正比,與該線段的位置無關因此事件的概率決定于線段2,5與0,5的長度比,即幾何概率的定義:如果一個隨機試驗相當于從直線、平面或空間的某一區域任取一點,而所取的點落在中任意兩個度量(長度、面積、體積)相等的子區域內的可能性是一樣的,則稱此試驗模型為幾何概型,對于任意有度量的子區域,定義事件“任取一點落在區域內”發生的概率為例6:甲乙二人相約定7:00-8:00在預定地點會面,先到的

    22、人要等候另一人20分鐘后,方可離開,假定他們在指定的一小時內任意時刻到達.求二人能會面的概率。解 設甲乙二人到達預定地點的時刻分別為及(分鐘), 則兩人到達時間的一切可能結果對應于邊長為60的正方形里所有點 二人會面 練習:1 某人午覺醒來,發覺表停了,他打開收音機,想聽電 臺報時, 求他等待的時間不超過 10 分鐘的概率。 (1/6)2在線段上任意取兩個點 B、C,在 B、C 處折斷此線段而得三折線,求此三折線能構成三角形的概率。解:設A三折線能構成三角形設AD1,ABx,BCy,CD1-x-y,則樣本空間A兩邊之和大于第三邊 1.4 條件概率一.條件概率例1:兩臺機器加工同一種產品,共10

    23、0件,第一臺機器加工合格品數為35件,次品數為5件,第二臺機器加工合格品數為50件,次品數為10件若從100件產品中任取一件產品,已知取到的是第一臺機器加工的產品,問它是合格品的概率是多少解令“取到產品是第一臺機器加工的”,“取到產品為合格品”,于是所求概率是事件發生的條件下事件發生的概率,所以稱它為發生的條件下發生的條件概率,并記作可以用古典概型計算因為取到的是第一臺機器加工的,又已知第一臺機器加工40件產品,其中35件是合格品,所以另外,由于表示事件“取到的第一臺機器加工的,并且是合格品”,而在100件產品中是第一臺機器加工的又是合格品的產品為35件,所以,而,從而有定義: 設是兩個事件,

    24、且,稱為在事件發生的條件下,事件發生的條件概率,記為,即同樣,可以在的條件下,定義在事件發生的條件下,事件發生的條件概率為條件概率( )滿足概率公理化定義中的三個基本性質:1.非負性 對任一事件,2. 規范性:3. 可列可加性:設兩兩互斥注:, 計算條件概率有兩種方法:(1)在樣本空間中,先求,再按定義計算(2)在縮減的樣本空間中求事件的概率,可得到例2:一袋中有10只球,其中3只黑球,7只白球,依次從袋中不放回取兩球(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率解記“第次取到黑球”()(1)可以在縮減的樣本空間上計算因為

    25、已發生,即第一次取得的是黑球,第二次取球時,所有可取的球只有9只中所含的基本事件數為9,其中黑球只剩下2只,所以(2)由于第二次取球發生在第一次取球之后,故縮減的樣本空間的結構并不直觀,因此,直接在中用定義計算因為又由且與互不相容故例3:某種動物由出生活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,這種動物已經活到20歲時再活到25歲的概率是多少?解記“該動物活到20歲”,“該動物活到25歲”,顯然,則又0.8,0.4,0.4所以二、乘法公式1定理(乘法公式)設則有設則有它表明,兩個事件同時發生的概率等于其中一個事件發生的概率與另一事件在前一事件發生下的條件概率的乘積2、推廣:三個事件的乘

    26、法公式:設為三個事件,且3. 多個事件乘法公式的推廣: 設為個事件,當 時,有 證明:因,故 又 例4:袋中有個白球和個黑球,隨機取出一個,然后放回,并同時再放進與取出的球同色的一只球,,再取第二只,,這樣連續去3次。問取出的3個球中頭兩個是黑球,第三個是白球的概率是多少?例 5: 設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落 下時打破的概率為 1/2 ,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解:以表示事件“透鏡第次落下打破”,以表示事件“透鏡落下三次而未打破”,有:三、全概率公式與貝葉斯公式 全概

    27、率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復雜事件的概率計算問題,可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發生的簡單事件的概率的求和問題。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機器,它們的產量分別占總產量的0.25,0.35,0.40,而它們的產品中的次品率分別為0.05,0.04,0.02(1)從所有產品中隨機取一件,求所取產品為次品的概率;(2)從所有產品中隨機取一件,若已知取到的是次品,問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機器生產的概率是多少?解:1)設“取出的產品為次品” 又設“所取產品來自甲臺”,“所取產品來自乙臺”,“所取產品來自丙臺”由于 ,兩兩互不相容,所以且也兩兩互不相容,于是又已知,故所求概率

    28、, 定理3(全概率公式):設隨機試驗的樣本空間為,為的任意事件,是的一個完備事件組,(即且兩兩互不相容),且,則全概率公式說明,在復雜情況下直接計算不易時,可根據具體情況構造一完備事件組,使事件發生的概率是各事件)發生的條件下引起事件發生的概率的總和若已經觀察到一個事件已經發生,再來研究事件發生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小,就需要給出貝葉斯公式定理4(貝葉斯公式)設為一完備事件組,且則對任一事件,有例7:已知自然人患有某種疾病的概率為0.005,據以往記錄,某種診斷該疾病的試驗具有如下效果,被診斷患有該疾病的人試驗反應為陽性的概率為0.95,被診斷不患有該疾病的人試驗反應為陽性的概率為

    29、0.06,在普查中發現某人試驗反應為陽性,問他確實患有該疾病的概率是多少?解設事件“試驗反應為陽性”,“被診斷者患有此疾病”,則“被診斷者不患有此疾病”由已知,,由全概率公式再由貝葉斯公式,所求概率例8:玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設各箱含0,1,2只殘次品的概率相應地為0.8,0.1和0.1一顧客欲買一箱玻璃杯,在購買時,顧客隨機地查看4只,若無殘次品,則買下該箱玻璃杯,否則退回試求:(1)顧客買下該箱玻璃杯的概率;(2)在顧客買下的一箱玻璃杯中,確實沒有殘次品的概率解設“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘次品”顯然, 為的完備事件組,由題意,()由全概率公式得(2)由貝葉斯公式練習1:

    30、設有五個壇子,大號壇子兩個,各裝兩個白球一個黑球,中號壇子兩個,各裝三個白球一個黑球,小號壇子一個,裝有十個黑球。如任選一個壇子,從中取出一球,問這球是黑球的概率是多少?2:對以往的數據分析結果表明當機器調整得良好時,產品的合格率為 90% , 而當機器發生某一故障時,其合格率為 30% 。每天早上機器開動時,機器調整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產品是合格品,試求機器調整得良好的概率是多少?解:“產品合格”,“機器調整得良好 ”“機器發生某一故障” 1.5事件的獨立性與伯努利概型一兩個事件的獨立性 定義1:若兩事件,滿足成立則稱事件,相互獨立, 或稱,獨立.注: (1)兩事件互不

    31、相容與相互獨立是完全不同的兩個概念,它們分別從兩個不同的角度表達了兩事件間的某種聯系,互不相容是表述在一次隨機試驗中兩事件不能同時發生,而相互獨立是表述在一次隨機試驗中一事件是否發生與另一事件是否發生互無影響(2) 當,時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨立又互不相容.證明:,由于AB =,所以但是,由題設這表明,事件 A 與 B 不相互獨立所以當,時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立.定理1:設,是兩事件,若,相互獨立,且則反之,或則相互獨立證明若相互獨立,則當時,有 反之若則故,相互獨立定理2證:由故 注意:在實際應用中,對于事件的獨立性,我們往往不是根據定義來判斷

    32、,而是根據實際意義來加以判斷的。具體的說,題目一般把獨立性作為條件告訴我們,要求直接應用定義中的公式進行計算。例1:從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記“抽到”,“抽到的牌是黑色的”,判斷事件是否獨立?解:利用定義判斷,由得到故事相互獨立例2:甲乙二人向同一目標射擊,甲擊中目標的概率為0.2,乙擊中目標的概率為0.5.試計算目標被擊中的概率.解 : 設表示“甲擊中目標”,表示“乙擊中目標”, 則,二、有限個事件的獨立性定義2設是三個事件,如果滿足等式 則稱事件相互獨立定義3設是個事件,如果其中任意2個,任意3個,任意個事件之積的概率,都等于各事件的概率之積,則稱事件相互獨立另外,稱無窮多個事

    33、件相互獨立,是指其中任意有限多個事件都相互獨立或定義4設是個事件,若其中任意兩個事件均相互獨立,則稱兩兩相互獨立可見個事件相互獨立,可推得個事件兩兩相互獨立,反之未必.多個相互獨立事件具有如下性質:性質若事件相互獨立,則其中任意個事件也相互獨立性質2若事件相互獨立,則將中任意個事件換成它們的對立事件,所得的個事件仍相互獨立特別是,若相互獨立,則也相互獨立利用多個事件的獨立性,可以簡化概率的計算(1)計算個相互獨立的事件 的積的概率,可簡化為(2)計算個相互獨立的事件 的和的概率,可簡化為 證明: 例3一個人看管三臺機床,設各臺機床在任一時刻正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.85,求在任一

    34、時刻,(1)三臺機床都正常工作的概率;(2)三臺機床中至少有一臺正常工作的概率解:三臺機床工作正常與否是相互獨立的,記 “第臺機床正常工作”(),則(1)所求概率為(2)所求概率為 例4在圖14所示的開關電路中,開關,的開(或關)的概率均獨立地等于 求事件“燈亮”的概率解:設 分別表示開關,關閉,記“燈亮”,則,故所求概率為三、伯努利概型在概率論中,只考慮兩個可能結果的隨機試驗稱為伯努利試驗為方便起見,將兩個可能結果說成事件發生或事件不發生,記 將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復進行次,稱這一串重復的獨立試驗為重伯努利試驗,或簡稱為伯努利概型重伯努利試驗是一種很重要的數學模型,在實際問題中應用

    35、廣泛,特點是事件在每次試驗中發生的概率均為,且不受其他各次試驗中是否發生的影響對于伯努利概型,主要研究次試驗中事件發生次的概率定理3(伯努利定理)設在一次試驗中,事件A發生的概率為則在重伯努利試驗中,事件恰好發生次的概率為證明在重伯努利試驗中,由于各次試驗是相互獨立進行的,因此事件在指定的次試驗中發生,其余次試驗中均不發生(比如在前次試驗中發生,在后次試驗中均不發生)的概率為由于這樣的指定方式共有種,根據概率的加法公式可得在次試驗中發生次的概率為定理4:設在一次試驗中,事件發生的概率為,則在伯努利試驗序列中,事件在第k次試驗中才首次發生的概率為證明“事件在第次試驗中首次發生”等價于“事件在前次

    36、試驗中均不發生而第次試驗中發生”,故所求的概率例5一袋中裝有10只球,其中3只黑球,7只白球,每次從中隨意取出一球,取后放回(1)如果共取10次,求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率;(2)如果未取到黑球就一直取下去,直到取到黑球為止,求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率解:設“第次取到黑球”,則(1)設“10次中能取到黑球”, “10次中恰好取到次黑球”,于是10次中恰好3次取到黑球的概率10次中能取到黑球的概率 (2)設“恰好要取3次”“至少要取3次”,則所求概率為 例6設在獨立重復試驗中每次事件發生的概率為0.5,問最少需要進行多少次試驗,才能使事件至少發生一次

    37、的概率不小于0.9?解:設最少需要進行次獨立重復試驗,則在次試驗中事件至少發生一次的概率為解得所以練習 1三人獨立地去破譯一份密碼, 已知每個人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少? 解:將三人分別編號為1, 2, 3,記 = 第i個人破譯出密碼 ,所求為已知 ,且相互獨立, 2一大批產品的次品率為0.05,現從中取出10件試求下列事件的概率: B= 取出的10件產品中恰有4件次品 C= 取出的10件產品中至少有2件次品 D= 取出的10件產品中沒有次品 解: 取10件產品可看作是一10重貝努里試驗 第二章 隨機變量及其分布在隨機試驗中,人們除對

    38、某些特定事件發生的概率感興趣外,往往還關心某個與隨機試驗的結果相聯系的變量. 由于這一變量的取值依賴于隨機試驗結果,因而被稱為隨機變量. 與普通的變量不同,對于隨機變量,人們無法事先預知其確切取值,但可以研究其取值的統計規律性. 本章將介紹兩類隨機變量及描述隨機變量統計規律性的分布.2.1 隨機變量 一、隨機變量概念的引入為全面研究隨機試驗的結果, 揭示隨機現象的統計規律性, 需將隨機試驗的結果數量化,即把隨機試驗的結果與實數對應起來.1. 在有些隨機試驗中, 試驗的結果本身就由數量來表示.例如: 在擲骰子試驗中,結果可用1,2,3,4,5,6來表示2. 在另一些隨機試驗中, 試驗結果看起來與

    39、數量無關,但可以指定一個數量來表示. 例如: 擲硬幣試驗,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的,可規定: 用1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” 二、隨機變量的定義1定義 設隨機試驗的樣本空間為, 對每個,都有一個實數與之對應,則稱為隨機變量.簡記為.隨機變量通常用英文大寫字母或希臘字母等表示。隨機變量的取值一般用小寫字母等表示。 2隨機變量的特征 1) 它是一個變量, 2) 它的取值隨試驗結果而改變3)隨機變量在某一范圍內取值,表示一個隨機事件,具有一定的概率 三、引入隨機變量的意義 隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關系式表達出來.由此可見,隨機事件這個

    40、概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內.也可以說,隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象,而隨機變量則以動態的觀點來研究之.其關系類似高等數學中常量與變量的關系. 隨機變量概念的產生是概率論發展史上的重大事件. 引入隨機變量后,對隨機現象統計規律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉化為隨機變量及其取值規律的研究,使人們可利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行廣泛而深入的研究.四、隨機變量的類型隨機變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非離散型隨機變量中最重要的是連續型隨機變量. 離散型:隨機變量的所有取值是有限個或可列個連續性:隨即變量的取值是某個區間或整個數軸2.2離散

    41、型隨機變量及其概率分布一.離散型隨機變量的概率分布1、定義:如果隨機變量的取值是有限個或可列無窮個,則稱為離散型隨機變量2、定義(概率分布)設離散型隨機變量的所有可能取值為 , 取各個可能值的概率,即事件的概率為則稱其為離散型隨機變量的概率分布或分布律.常用表格形式來表示的概率分布: 注:離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃即離散型隨機變量可完全由它 的可能取值以及取這些值的概率唯一確定離散型隨機變量分布律的性質:例一箱中裝有6個產品,其中有2個是二等品,現從中隨機地取出3個,試求取出的二等品個數的概率分布解:隨機變量的可能取值是0,1,2,在6個產品中任取3個,共種取法,故, , .所以,的

    42、概率分布為 加例:設隨機變量的分布律為 解:由隨機變量的性質,得該級數為等比級數,故有 所以二、常用離散型隨機變量的分布1 0-1 分布或兩點分布 或 伯努利分布如果隨機變量的分布律為或則稱隨機變量 X 服從參數為的 0-1 分布或兩點分布或2.二項分布 如果隨機變量的分布律為 注:(1) (2) 顯然,當時 例2射手射擊一槍命中的概率是,求射手射擊6槍中恰好命中槍的概率解:我們將射手射擊一槍看成一次試驗,獨立射擊6槍相當于做6重伯努利試驗記為陸次射擊命中的次數,則是一個隨機變量,且因此例3:某人進行射擊,每次射擊的命中率為0.001,獨立射擊5000次,求命中一次以上的概率解:將一次射擊看成一次試驗,設擊中的次數為X,則的概率分布為于是所求概率加例:一張考卷上有5道選擇題,每道題列出4個可能答案,其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少?解:每答一道題相當于做一次貝努利試驗,,則答5道題相當于做5重貝努里試驗設表示學生靠猜測能答對的題數, 3泊松分布:如果隨機變量 X 的分布律為 則稱隨機變量 X 服從參數為的泊松分布注: (1) (2) 泊松分布的應用(1)泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一. 實際問題中許多隨機現象都服從或近似服從泊松分布. 泊松分布是概率論中重要的分布之

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