彈性薄板的小撓度彎曲

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1、 解 ： 本題屬于圓板的軸對稱問題，可引用 9 9 中軸對稱圓板的一般解。由于板上無橫向荷載，特解 ，于是撓度為 .lnln 423221 CCCCw 01 w代入內力公式，得 例題 5 設有內半徑為 r而外半徑為 R的圓環形薄板，其內邊界簡支，外邊界為自由，并受到均布力矩荷載 M的作用，如圖，試求其撓度和內力。 M M O z r R R r 發生在薄板的中心點的撓度為 與板上作用有均布荷載 的解答相比，本題的中心點撓度為均布荷載下中心點撓度的 。又由 的條件，求出最大撓度為 .0 0 2 0 3.0410,2 Daqwyax 1qq 0xw .00206.0415 5 7.0,0m a x

2、 Daqwwaxy 12解出 ,c o s ht a n h2)()1( 541mmmmm mDaqA.c o s h1)()1( 541mmm mDaqB從而得撓度解答 .s i nc os hs i n hc os h)t a n h2(21)1(151541axmaymaymaymmDaqwmmmmm 在 的邊界，有簡支邊條件 2by ,2by ,0w .022yw將撓度 代入邊界條件，記 ，得 w a bmm 2 ,02)1(s i n hc o s h55411 DmaqBA mmmmmm.0)s i n hc o s h2(c o s h mmmmmm BA 從而得到 和撓度 的表

3、達式。在本題中，由于結構及荷載對稱于 軸， 應為 的偶函數，由此， 。于是 的表達式為 mY0 mm DCx yww.s i n2)1( s i n hc os h554111axmDmaqaymaymBaymAwmmmm w解 ： 應用萊維法的單三角級數求解，將 代入書中 9 6式 (d)右邊的自由項，即 代入式 (d)，方程的特解可取為 axqq1.2)1(ds i n2ds i n2 110 10 DmqxaxmaxqaDxaxmqaDmaa .2)1()( 55411Dmaqyf mm 四邊簡支矩形板，受靜水壓力作用， ，如圖，試用單三角級數求解其撓度。 x y a O 1q2b2ba

4、xqq1例題 4 .s i ns i ns i n)(18,2,1 ,5,3,1 222225 m n bynaxmamnbnamaDFw得出撓度為 .s i n)(8)c os1(s i n)(4dds i ns i nd)(42222252222240222224amnbnamaDFnnbambnamabDFyxbynamxFbnamabDAbmn解 ： 板中的荷載只作用在 的線上，對荷載的積分項 只有在此線上才存在，其余區域上的積分全為 0.在 的線上，荷載強度可表示為 a b yxb yna xmq0 0 dds ins in x( , 0 )d .Fq x y bx 代入系數 的公式

5、， mnAx 四邊簡支矩形板，如圖，在 的直線上，受有線分布荷載 F的作用， F為單位長度上的作用力。試用重三角級數求解其撓度。 y x a b O F a x例題 3 得 )5,3,1；1( .dds i ns i n)s i n( 00 00 nmnabqyxbynaxmaxqa b代入 ，得撓度的表達式為 mnA.s i ns i n)1(4,5,3,1 22250 n bynaxnbnaDqw解 ：將 代入積分式， axqq s in0.dds i ns i n)s i n(0 0 0 a byxbynaxmaxq 由三角函數的正交性， ,0,2/s i ns i n0adxaxjax

6、ia )()(jiji及 02s i n d 1 c o s , ( 1 , 3 , 5 ) ,b n y b by n axqq s in0四邊簡支矩形板，如圖，受有分布荷載 的作用，試用重三角級數求解其撓度。 例題 2 當 時，便由上述解得出圓板的解答 ； 若令 則橢圓板成為跨度為 的平面應變問題的固端梁。 ba ,a 趨近b2 內力 為 yM) .13()13()323(222224222224242240abayaxbbaxbybbaaqM y ,)323(2)1()()(442222200,0m a xabababbqMMyxyy.)323()()(442220,0m i nabab

7、bqMM byxyy 讀者可以檢驗， 最大和最小便可滿足式 (a)的邊界條件。 對于均布荷載 ，將式 (c)代入方程 得出 ，并從而得 .)1( 22222byaxmw0qq 04 qwD .)323(8)1(4224222220bbaaDbyaxqwm因此，只需取 (c) 由 ，顯然 。因此，從方向 .0),( snww0)( sw.0),( sywxw( , , ) 0 .swwwxy0)( ssw解 ：固定邊的邊界條件是 (a) (b) 導數的公式可推出， 為了滿足邊界條件 (a)，可以令 受均布荷載 作用，如圖，試求其撓度和內力。 固定邊橢圓板的邊界方程為 ,0)1( 2222 bya

8、x0qO a b y x 例題 1 上述的軸對稱解答 (b)，是軸對稱彎曲的一般解，可以應用于一切軸對稱彎曲問題。讀者可參考教科書的解答和有關力學手冊。 對于 無孔板 ，則除 2個外邊界條件外，還應考慮撓度和內力在 的有限值條件， 所以得 。 式 (a)的 全解 為 221 2 3 41l n l n . ( b )w C C C C w .d111 41 qDw41 CC 041 CC 1w021 CC對于 有孔板 ，由內外 若 圓板的荷載 q和邊界條件均為軸對稱 ，則薄板的 撓度和內力 必然也為 軸對稱 。所以有 ).dd(dd11),(222 ww1 d d 1 d d ( ) ( )

9、. ( a )d d d dw q D 9 9 圓形薄板的軸對稱彎曲 撓曲微分方程為 軸對稱彎矩 a1( ) 0 , ( ) ( ) 0 . ( g )ta s a s aMM F F 設 為 自由邊 ，則 a221( ) 0 , ( ) 0 . ( f )aawww 前一條件使 w對 的導數在 邊界上 均為 0，故簡支邊條件為 3. 邊界條件 可以表示為 a( ) 0 , ( ) 0 . ( e )aa ww 設 為 簡支邊 ，則 a.0)11()(,0)(22222aaawwwDMw 設 為 固定邊 ，則 邊界條件 1,( d ).tsstssMFFMFF 類似地，橫截面上的 總剪力 為

10、222 2 22211 ( ) ,1( 1 ) ( ) ,( c ),1.ssw w wMDwMDF D wF D wy 同樣，得出 將對 x， y的導數變換為對 的導數，并代入 ，得 2. 內力公式 -類似地可利用公式， .),(),( 0 sysxxyyxss FFMMMFFMMM.)()( 022220 ywxwDMM x222 2 211 ( ) . ( b )w w wMD 4 , ( a )D w q.11),( 222222 qq1. 撓曲微分方程 仍為 其中 圓板方程 9 8 圓形薄板的彎曲 圓板彎曲問題的方程和公式，都可以從直角坐標系的方程和公式導出。 （ 3）兩對邊簡支，另

11、兩對邊固定； （ 4）兩鄰邊簡支，另兩鄰邊固定； （ 5）一邊簡支，三邊固定； （ 6）四邊固定。 1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載 ，如何應用萊維法求解？ 2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載 ，如何應用萊維法求解？ qq思考題 2.應用 疊加方法 ，可將萊維提出的單三 角級數解，用于 解決各種 矩形薄板的 邊 界條件問題 。 3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜 力（彎曲）問題中得到了廣泛的應用， 而且可以推廣應用于薄板的動力、穩定 問題 ,以及能量法中。 1.從求解薄板彎曲問題來看，兩者比較 如下： 適用性 四邊簡支 兩對邊簡支，另兩邊可任意 求解 較困難，須求解系數

12、mm DA ,收斂性 慢 快 應用 局限于 四邊簡支 可推廣應用 書中列舉了受均布荷載 時 ,四邊簡支板的解答。 0q矩形薄板應用重三角級數和單三角級數求解，是非常重要的解法。下面我們 進一步 說明幾點。 其中 為式 (d)的特解；其余四項為齊次方程的通解。將 代入式 (a)，得 w解，其中 的系數由其余兩邊界條件來確定。 a ymCa yma ymBa ymAY mmmm s i n hs i n hc o s hc o s h ( ) . ( e )mmm y m yD f yaa )( yfmmm DA ,mY式 (d)的解為 將 也展開為單三角級數， 012 s i n s i n .

13、 ( c )amq q m x m xdxD a D a a 422442 0d d 22 ( ) ( ) s i n d . ( d )ddammmY m Y m m xY q xy a y a a D a mY兩對邊簡支 代入式 (b)，比較系數，得出求 其中 是待定的函數， m為正整數。式 (a)已滿足了 的簡支邊條件 , 萊維采用 單三角級數 表示撓度， 1( ) s i n , ( a )mmmxw Y ya )( yYmax ,0.0),( ,022 axxww4224421 2 ( ) ( ) s i n . ( b)mmmmd Y m d Y m m x qYd y a d y

14、 a a D 設 矩形板的兩對邊 為簡支邊 ，其余兩邊為任意邊界。 9 6 矩形薄板的單三角級數解 ax ,0兩對邊簡支 當 q為集中荷載 F，作用于一點 時，可用 代替 q，并且只在 處的微分面積上存在，其余區域 q =0，于是 中 當 q為均布荷載時， 代入式 (f)，便可求出 ，并得出 w解答。 0qq mnA),( yxFdd ),( mnA.s i ns i n 納維解答是用多種正弦波形 的疊加來表示撓度 w 的。對于各種形式的荷 載 q ，均可方便地求出解答。它的主要是，只能適用于四邊簡支的薄板。 )2,1,( nm將 q(x,y) 也展為重三角級數， 再代入式 (a)，得 .s

15、i ns i n)( 2221 1224 qbynaxmAbnamDmnm n 00114 s in s in d d s in s in . ( e) 納維將 w 表示為 重三角級數 ， 其中 m， n為正整數。代入式 (b)，全部邊界條件滿足。 ,s i ns i n1 1 bymaxmAwm nmn 對于 四邊簡支的 矩形板 ，邊界條件為 .0),(,0),(,022,022byaxywwxww(b) 四邊簡支 小撓度薄板的彎曲問題，已經歸結為求解撓度 w， w應滿足 撓曲線微分方程 和 板邊的邊界條件 。 9 5 四邊簡支矩形薄板的重三角級數解 4 ( a )D w q求 w條件 yx

16、wDMMxwywDMywxwDMyxxyyx2222222221 2222hh yzsyhh xzsxzFzFddxMFF yxysysFRB=2（ Mxy） B )22333sx yxwxwDF FRB=（ Myx） B+（ Mxy） B 2（ Mxy） B （ 5-16） 集中力的指向，應由扭矩（ Mxy） B的符號來判斷。 圖示為當四個角點上的扭矩都為正時的指向。 yMFFxyxssx變扭矩為靜力等效的橫向剪力 對此，基爾霍夫作了如下巧妙的處理：他將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來的橫向剪力合并成總的分布剪力。這樣，就將每邊上的三個邊界條件歸并成兩個邊界條件。 5-4

17、邊界條件 討論板邊幾種常見的邊界條件 如果已知作用在板邊外力的靜力效應，即已知這些外力所產生的彎矩、扭矩和橫向剪力，則嚴格地說，板的三個內力，即彎矩、扭矩和橫向剪力的邊界值，應一一對應地與這些外加的彎矩、扭矩和橫向剪力相等?？梢?， 在每個邊界上有三個邊界條件 。但薄板彎曲的基本方程（ 5-13）是四階的橢圓型偏微分方程，根據偏微分方程理論， 在每邊上，只需要兩個邊界條 5-2 薄板彎曲的基本方程 通過板內任一單元體的平衡，可進而建立撓度w所滿足和微分方程。薄板彎曲的小撓度問題，是以撓度 w作為基本未知函數求解的，屬 位移解法 。 Dqw 22應力分量又可通過相應的內力表示 與材料力學中梁的彎曲

18、應力和橫向切應力公式相似。 2232233334646121212zhhFzhhFzhMzhMzhMsyyzsxxzxyyxxyyyxx橫向剪力 切應力分量只可能合成橫向剪力，在每單位寬度上分別為 2222hh yzsyhh xzsxzFzFddwyDFwxDFsysx22 yxwDMMxwywDMywxwDMyxxyyx2222222221 23112 EhD稱為板的抗彎剛度，其意義和梁的抗彎剛度相似。 22hh xxzzM d 22hh yy zzM d 22hh xyxyzzM d 22hh yxyx zzM d陰影微分面單位寬度上的正應力和切應力的主矢量分別為 xdz， ydz和 xy

19、=yxdz。 由于 x， y， xy=yx沿板厚按線性規律分布 ， 以及分布的反對特性 ， 所以 ， 它們在板的全厚度上的主矢量為零 。 構成力偶， Mx， 三、薄板橫截面上的內力表示式 下面要建立這些合成內力與撓度之間的關系。 wyhzEwxhzEzz2222y2222x412412 whzhzEz22223121-16h （ 5-4） （ 5-5） 式（ 5-4）就是切應力 xz和 yz與撓度 w的關系式，它們表明，剪應力 xz和 yz沿板厚方向呈拋物線分0zyx0zyx0zyxzyzxzzyyxyzxyxx如體力分量 FZ及下表面上的面力不等于零，對簿板來說，可以歸入板上表面的面力，這樣

20、處理只會影響次要應力 z，于是板上、下表面的靜力邊界條件為： qhzzhzzhzzhzz次要應力分量 按假設， z， xz和 yz應為零，實際上，它們只是遠小于 x， y和 xy的次要的應力分量，對于它們所引起的變形可略去不計，但對于維持平衡，它們不能不計。為了求得它們，現考慮不計體力的平衡微分方程： 二、薄板中的應力分量表示式 根據上述的第一個和第二個假設，物理方程簡化為 xyxyxyyxEEE12112y2xyxwEzxwywEzywxwEzxy222222y22222x111這是薄板小撓度彎曲時，主要應力 yw-z vxw-zu （ 5-1） 式（ 5-1）表示，薄板內坐標為（ x,y,

21、z）的任一點，分別在 x和 y方向的位移沿板厚方向呈線性分布，中面處位移為零，在上、下表面處位移最大。 利用式（ a）的第一、第二和第四式，得應變分量的表示式 00vv0vzyxxwz00vv0vzyxxwzuzywyuxzwyxuxzyzxy一、薄板中的位移分量和應變分量的表示式 （ a） 根據上述第一假設 ， 由幾何方程知 （ a） 式成立 . 由式 （ a） 的第三式可知 ， 在板內所有的點 ，位移分量 w只是 x和 y的函數而與 z無關 ， 故板內各點的位 5-2 薄板內力 根據 5-1中的三個基本假設，利用彈性力學的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，可以將薄板內任一點的位移分量、應變

22、分量、應力分量和板橫截面上的內力，都用撓度 w來表示。下面就來建立這些基本關系式。 一、薄板中的位移分量和應變分量的表示式 二、薄板中的應力分量表示式 三、薄板橫截面上的內力表示式 基爾霍夫假設 （ 2） 與 x， y ， xy等相比 ， z很小 ， 在計算變形時可以略去不計 。 （ 3） 薄板中面內各點只有垂直位移 w而無 x方向和 y方向的位移 ， 即 （ u） z=0=0，（ v） z=0=0，（ w） z=0=w（ x,y） 根據這個假設 ， 中面內的應變分量 x， y和 xy均等于零 ，即在中面內無應變發生 。 中面內的位移函基爾霍夫假設 （ 1）變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）

23、在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且其長度不變，稱為 直法線假設 ，它與材料力學中梁彎曲問題的平面假設相似。若將板中面作為 xOy坐標面， z軸垂直向下，則根據此假設，有 z=0和xz=yz=0。 基爾霍夫假設 （ 1） 直法線假設 （ 2） z引起的變形略去不計 （ 3） 中面內各點只有垂直位移 w 5-1 基本概念與計算假定 板 、 板面、板邊 、 板厚 薄膜 薄板：當板厚與板面內最小特征尺寸之比在1/80 1/5之間時 厚板 撓度 小撓度問題：撓度與板厚之比小于或等于 1/5 大撓度問題 第五章 薄板的小撓度彎曲 5-1 基本概念與計算假定 5-2 薄板內力 5-3 薄板彎曲的基本方程 5-4 邊界條件 5-5 四邊簡支矩形薄板的重三角級數解(Navier解 ) 5-6 矩形薄板的三角級數解 (Levy解 ) 5-7 圓形薄板的彎曲 第五章 薄板的小撓度彎曲 板是工程中常用的構件，當外荷載作用方向平行于板面且沿板厚均勻分布且不發生失穩現象時，可以處理為平面應力問題；當外荷載作用方向垂直于板面時，則屬于 彈性力學的空間問題 。由于數學上處理空間問題的復雜性，要求得滿足全部基本方程和邊界條件的精確解非常困難，這就需要引入簡化計算的近似假設。下面將通過引入這樣的近似假設，建立薄板彎曲問題的基本方程和基本關系