采礦問題

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1、數學模型數學模型信息與計算科學系 年級：2011 級 姓名： 學號：20132013 年年 7 7 月月 1 1 日日采礦問題采礦問題摘要摘要： 一、問題重述一、問題重述 二、問題假設二、問題假設 三、問題分析三、問題分析 四、模型建立四、模型建立 五、模型的求解五、模型的求解 六、模型的結果六、模型的結果(結論結論) 七、模型的優缺點七、模型的優缺點 八、參考文獻八、參考文獻摘要：摘要：分析問題，可以得到一個動態的線性規劃模型。其目標函數為 公司五年總盈利=五年賣沙總收入-五年土地總租金。其約束條件有 6 個：每礦每年有最大開采量。每年售出的礦砂需達到一定的質量指標。該采礦公司每年最多有能力

2、開 3 個礦，而有一礦閑置。如果某一年關閉了某個礦，則該礦在開采年限內的隨后幾年也均保持關閉狀態。呈關閉狀態的礦不可開采。礦開采與否、關閉與否只能各自有兩個狀態，為了保證模型處理時是線性的，我們引入兩個 0-1變量 d（表示礦關閉與否，取 0 關閉，取 1 不關閉）和x（表示礦開采與否，取 1 開采，取 0 閑置） ，所以模型建立時，應約束 d 和 x 均為 0-1 變量。以此為依據建立以下模型求解，目標函數取得最大值時的解即為我們欲求的最優解。利用 lingo 求解該線性規劃模型，通過對結果的分析，給出開采方案（見第六部分） ，使得盈利最大化。關鍵字：關鍵字：動態線性約束模型、目標函數、約束

3、條件、0-1 變量 、最優解、一一 、問題重述、問題重述某地區有 4 個礦，產同一種礦石。某采礦公司獲得了這些礦在未來連續 5 年中的開采權。但在每一年度中，該公司最多有能力開 3 個礦，而有一礦閑置。對于閑置的礦，如果在這5 年期內隨后的某年還要開采，則不能關閉；如果從閑置起在這 5 年內不再開采，就關閉。對開采和保持不關閉的礦，公司應交付土地使用費。各礦每年土地使用費額見表 1 第 2行。各礦每年礦砂產量上限如表 1 第 3 行。不同礦所產礦砂質量不同。礦砂質量同一種質量指數表示，見表 1 第 4 行。將不同礦的礦砂混合所成的礦砂，其質量指數為各組分的質量指數的線形組合，組合系數為各組分在

4、混成礦砂中所占的重量百分數。例如，等量的二礦砂混合，混成礦砂的質量指數為二組分指數的平均值。每一年度公司將各礦全年產出的礦砂混合，要生成具有約定質量指數的礦砂。不同年度的約定質量指數如表 2 所示。各年度成品礦砂售價每噸 10 元。年度總收入和費用開支，為扣除物價上漲因素，以逐年 9 折計入 5 年總收入和總費用中。表 1礦1234土地使用費（萬元）500400400500產量上限（萬噸）200250130300質量指數1.00.71.50.5表 2年度12345質量指標0.90.81.20.61.0試問各年度應開采哪幾個礦？產量應各為多少？二、二、 問題假設問題假設1、假設該公司 5 年總盈

5、利僅與賣沙總收入和租地總支出有關，其他因素如用電、用水、人工費用 等因素不予考慮2、假設各礦產出礦砂的質量指標與以上表 1 所給標準嚴格一致，不考慮其他因素的作用使得各礦礦砂標準有變化。3、假設通過一定工藝，所售出礦砂的質量指標可以與表 2所給標準嚴格一致。4、將不同礦的礦砂混合所成的礦砂，假設其質量指數為各組分的質量指數的線形組合，組合系數為各組分在混成礦砂中所占的重量百分數。5、以逐年 9 折計入 5 年總收入和總費用中，便不再考慮物價上漲因素。6、符號說明：SV(I) : (sand value)表示第 I 礦的礦砂質量指標。I 為1,2,3,4.SSV(J) ：(sold sand v

6、alue)表示第 J 年售出礦砂的質量指標。J 為 1,2,3,4,5.RENT(I) : (rent)表示第 I 礦的租地租金（土地使用費）單位為萬元。I 為 1,2,3,4.OP(I) : (output)表示第 I 礦的產量上限，單位為萬噸。I 為 1,2,3,4.Y(I,J) :表示第 I 礦第 J 年的產量，單位為萬噸。I 為1,2,3,4，J 為 1,2,3,4,5.X(I,J) :表示第 I 礦第 J 年的開采狀態，為 0-1 變量。取1 表示開采；取 0 表示不開采。I 為 1,2,3,4，J 為 1,2,3,4,5.D(I,J) : 表示第 I 礦第 J 年的關閉狀態，為 0

7、-1 變量。取 1 表示未關閉；取 0 表示關閉。Total_Profit：表示 4 個礦 5 年內的總收益，單位萬元。Total_Rent ：表示 4 個礦 5 年內土地使用費總支出，單位萬元。Net Profit ：表示 4 個礦 5 年內的凈盈利，單位萬元。三、三、 問題分析問題分析結合問題背景，分析表格 1、2，可以得到以下信息。目標函數目標函數：Net Profit= Total_ProfitTotal_Rent。約束條件約束條件： 、第 I 礦第 J 年開采量小于等于最大該礦開采量，即 Y(I,J)=OP(I) I 為 1,2,3,4，J 為 1,2,3,4,5.、第 J 年混合礦

8、砂的質量指標=第 J 年所售礦砂的質量指標（J 為 1,2,3,4,5） 。即SV(I)*Y(I,J)= SSV(J) *Y(I,J).、該公司的采礦能力限制，第 J 年最多開采 3個礦而有一個礦閑置（J 為 1,2,3,4,5） 。即X(I,J)=3。I 為1,2,3,4。、X(I,J) D(I,J)均為 0-1 變量。X(I,J) =0, 第年第礦不開采1, 第年第礦開采?D(I,J) =0, 第年第礦關閉1, 第年第礦不關閉?、如果第 J 年關閉了第 I 礦，則該礦在開采年限內的隨后幾年也均保持關閉狀態。即 （1-D(I,J)）*D(I,J+1)=0. J 為 1,2,3,4.、第 J

9、年呈關閉狀態的第 I 礦不可開采。即（1-D(I,J)）*X(I,J)=0. I 為 1,2,3,4，J 為 1,2,3,4,5.我們要回答的該公司每年要開采哪幾個礦，以及每礦開采量應為多少的問題 ，都是找目標函數最優解的問題。而當目標函數取到最大值所得的解即為最優解。所以我們應通過建立模型求目標函數 Net Profit= Total_ProfitTotal_Rent 的最大值。 四、四、 模型建立模型建立max Net Profit= Total_ProfitTotal_Rent.其中：Total_Profit=0.910（）(,)Total_Rent=0.9*4 = 15 = 1() (

10、,)RENT=500 400 400 500s.t. (以下出現的 I,J 均滿足 I 為 1,2,3,4，J 為 1,2,3,4,5)1、Y(I,J)=OP(I). OP=200，250，130，300;2、 =.其中：4 = 1SV(I) * Y(I,J) 4 = 1SSV(J) * Y(I,J)SV=1 0.7 1.5 0.5 SSV=0.9 0.8 1.2 0.6 1.0;3、；4 = 1X(I,J) = 34、X(I,J) D(I,J)均為 0-1 變量。X(I,J) =0, 第年第礦不開采1, 第年第礦開采?D(I,J) =0, 第年第礦關閉1, 第年第礦不關閉?5、 （1-D(I

11、,J)）*D(I,J+1)=0.6、（1-D(I,J)）*X(I,J)=0.五、五、 模型求解（模型求解（借助 lingo 軟件求解）Lingo 程序如下程序如下：sets:r/1.4/:SV,RENT,OP;c/1.5/:SSV;links(r,c):y,d,x;endsetsdata:SV=1 .7 1.5 .5;RENT=500 400 400 500;SSV=.9 .8 1.2 .6 1.0; OP=200 250 130 300;enddata!賣砂總收益;Total_Profit=0.9*10*sum(links:y); !租地總支出;Total_Rent= 0.9*sum(r(I

12、):sum(c(J):RENT(I)*d(I,J); !目標函數;max=Total_Profit-Total_Rent; !對x,d取值范圍的約束;for(r(I):for(c(J):bin(d(I,J);for(r(I):for(c(J):bin(x(I,J); !對礦關閉、開采的約束;for(links(I,J):(1.0-d(I,J)*x(I,J)=0);for(links(I,J)|J#le#4:(1.0-d(I,J)*d(I,J+1)=0); !公司每年開采能力的約束;sum(links(I,J):x(I,J)=3; !每礦產量的約束;for(r(I):for(c(J):y(I,J

13、)=OP(I)*x(I,J); !礦砂質量的約束;for(c(J):sum(r(I):SV(I)*y(I,J)=sum(r(I):SSV(J)*y(I,J);endLingo 程序求解結果如下：程序求解結果如下：Global optimal solution found.Objective value: 3915.000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 1543Variable Value Reduced CostTOTAL_PROFIT 5175.000 0.000000TOTAL_RENT 1260.000 0.000000Y

14、( 1, 1) 200.0000 0.000000Y( 1, 2) 0.000000 0.000000Y( 1, 3) 0.000000 0.000000Y( 1, 4) 0.000000 0.000000Y( 1, 5) 0.000000 0.000000Y( 2, 1) 0.000000 0.000000Y( 2, 2) 0.000000 0.000000Y( 2, 3) 0.000000 0.000000Y( 2, 4) 0.000000 0.000000Y( 2, 5) 0.000000 0.000000Y( 3, 1) 130.0000 0.000000Y( 3, 2) 0.0000

15、00 0.000000Y( 3, 3) 0.000000 0.000000Y( 3, 4) 0.000000 0.000000Y( 3, 5) 0.000000 0.000000Y( 4, 1) 245.0000 0.000000Y( 4, 2) 0.000000 0.000000Y( 4, 3) 0.000000 0.000000Y( 4, 4) 0.000000 0.000000Y( 4, 5) 0.000000 0.000000D( 1, 1) 1.000000 0.000000D( 1, 2) 0.000000 450.0000D( 1, 3) 0.000000 0.000000D(

16、1, 4) 0.000000 0.000000D( 1, 5) 0.000000 0.000000D( 2, 1) 0.000000 360.0000D( 2, 2) 0.000000 0.000000D( 2, 3) 0.000000 0.000000D( 2, 4) 0.000000 0.000000D( 2, 5) 0.000000 0.000000D( 3, 1) 1.000000 0.000000D( 3, 2) 0.000000 360.0000D( 3, 3) 0.000000 0.000000D( 3, 4) 0.000000 0.000000D( 3, 5) 0.000000

17、 0.000000D( 4, 1) 1.000000 0.000000D( 4, 2) 0.000000 450.0000D( 4, 3) 0.000000 0.000000D( 4, 4) 0.000000 0.000000D( 4, 5) 0.000000 0.000000X( 1, 1) 1.000000 -2250.000X( 1, 2) 0.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 0.000000 0.000000X( 1, 5) 0.000000 0.000000X( 2, 1) 0.000000 0.000000X( 2

18、, 2) 0.000000 0.000000X( 2, 3) 0.000000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.000000X( 2, 5) 0.000000 0.000000X( 3, 1) 1.000000 -2925.000X( 3, 2) 0.000000 0.000000X( 3, 3) 0.000000 0.000000X( 3, 4) 0.000000 0.000000X( 3, 5) 0.000000 0.000000X( 4, 1) 1.000000 0.000000X( 4, 2) 0.000000 0.000000X( 4, 3) 0.000000

19、 0.000000X( 4, 4) 0.000000 0.000000X( 4, 5) 0.000000 0.000000六、六、 模型結論模型結論該模型利用 lingo 軟件可以求得全局最優解。目標函數的最優值為 3915，即最大凈盈利為 3915 萬元。此時對應的最優解為：第一年應關閉第 2 個礦，開采第 1、3、4 個礦，產量分別為200、130、245 萬噸。第二年至第五年將所有的礦都關閉，均不開采，各礦產量均為 0 萬噸。進一步分析影子價格，可得出結論：第一個礦的產量變化對凈盈利影響顯著，而其他礦產量每增加一個單位增加的收入甚少，不足以超過該礦的土地使用費，所以可以酌情予以閑置或關閉。因為對售出礦砂質量指標有要求，所以四個礦應搭配開采，但應注意盡可能的開采 1 礦，2、3、4 礦在滿足質量指標要求的情況下，應盡量關閉，以減少總的土地使用費，來增加凈盈利。七、七、 模型的優缺點模型的優缺點該模型直觀簡單，較易被人理解；但是卻用到了大量未知或已知的變量，數據規模較大，易使人混淆變量。八、八、 參考文獻參考文獻Lingo 快速入門 、 數學模型（第四版） 、